Przemysław Tomasz Szulc urodził się 2 czerwca 1978 roku w Chojnicach, w rodzinie Hilarego i Barbary. Ma brata Michała.

W rodzinnych Chojnicach ukończył Szkołę Podstawową nr 1 im. Juliana Rydzkowskiego oraz Katolickie Liceum Ogólnokształcące im. Romualda Traugutta. Po złożeniu egzaminu maturalnego wstąpił do Wyższego Seminarium Duchownego w Pelplinie. W czasie formacji seminaryjnej przyjął posługę lektoratu 14 marca 2000 roku oraz akolitatu 4 marca 2001 roku. W latach 2000–2002 pełnił funkcję prezesa Kleryckiego Koła Misyjnego, a w latach 2002–2003 – Kantora I w samorządzie seminaryjnym. Święcenia diakonatu przyjął 23 czerwca 2002 roku, natomiast święcenia kapłańskie otrzymał 8 czerwca 2003 roku w bazylice katedralnej w Pelplinie z rąk biskupa pelplińskiego Jana Bernarda Szlagi. Na obrazku prymicyjnym umieścił słowa św. Pawła: „Dla mnie bowiem żyć — to Chrystus” (Flp 1,21).
Mszę Świętą prymicyjną sprawował 15 czerwca 2003 roku w kościele pw. Matki Boskiej Fatimskiej w Chojnicach, będąc pierwszym powołaniem od utworzenia tejże parafii.

Pierwszą placówką duszpasterską ks. Przemysława Szulca była parafia pw. św. Józefa w Tczewie, gdzie posługiwał w latach 2003–2009. Następnie, w latach 2009–2016, pełnił posługę duszpasterską w parafii pw.  Niepokalanego Poczęcia Najświętszej Maryi Panny w Świeciu. Od 2009 roku był również związany z Katolicką Szkołą Podstawową im. ks. dra Bernarda Sychty oraz Katolickim Przedszkolem „Aniołowo” w Świeciu, pełniąc funkcję dyrektora tych placówek.

Dnia 20 sierpnia 2016 roku biskup pelpliński Ryszard Kasyna mianował go proboszczem parafii pw. św. Wawrzyńca w Przysiersku.

W 2003 roku na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim obronił pracę magisterską z teologii ekumenizmu pt. Eklezjologia Bractwa św. Piusa X. Próba katolickiej oceny, napisaną pod kierunkiem ks. dra Krzysztofa Różańskiego.

W latach 2006–2012 odbył studia specjalistyczne w Instytucie Pastoralno-Liturgicznym Wydziału Teologii Katolickiego Uniwersytetu Lubelskiego Jana Pawła II. Uwieńczył je uzyskaniem stopnia doktora nauk teologicznych na podstawie dysertacji pt. Liturgia w życiu chrześcijańskim w ujęciu Jana Pawła II, napisanej pod kierunkiem ks. prof. dra hab. Bogusława Miguta. Ukończył także studia podyplomowe z zakresu zarządzania oświatą, psychologii biznesu i zarządzania, zarządzania finansami przedsiębiorstw oraz edukacji, rewalidacji i wspomagania osób z autyzmem i zespołem Aspergera.

W latach 2003–2009 ks. Przemysław Szulc pełnił funkcję diecezjalnego moderatora Ruchu Światło-Życie. Dnia 21 września 2020 roku biskup Ryszard Kasyna mianował go kanonikiem honorowym Kapituły Kolegiackiej Koronowskiej.

Dnia 11 czerwca 2026 roku papież Leon XIV mianował go biskupem pomocniczym diecezji pelplińskiej, przydzielając mu stolicę tytularną Cufruta. Jako zawołanie biskupie przyjął słowa: Gratia et missio — „Łaska i misja”.